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所謂“增長(zhǎng)率”，即是增長(zhǎng)的量與原來(lái)的數(shù)量的比值。不妨讓我們具體算算，在前面的數(shù)據(jù)中，各年的增長(zhǎng)率究竟是多少。房?jī)r(jià)從 1 萬(wàn)增長(zhǎng)到了 2 萬(wàn)，增長(zhǎng)率為 100% ；而從 2 萬(wàn)增長(zhǎng)到 3 萬(wàn) 8，增長(zhǎng)率卻只有 (3.8 - 2) / 2 = 90%。從 3.8 萬(wàn)到 7 萬(wàn)，房?jī)r(jià)的增長(zhǎng)率則降到了 (7 - 3.8) / 3.8 ≈ 84%�？梢姡�雖然房?jī)r(jià)增長(zhǎng)的勢(shì)頭看上去是越來(lái)越猛，細(xì)心一算卻發(fā)現(xiàn)增長(zhǎng)率確實(shí)是一年比一年低。

 “增長(zhǎng)速度”有歧義

平常人們說(shuō)的“增長(zhǎng)速度”，其實(shí)是有歧義的。有時(shí)候，人們用相鄰兩年的數(shù)量之差來(lái)表示增長(zhǎng)速度，“增長(zhǎng)速度不變”的意思就是每年都增加相同的量，也就是通常所說(shuō)的“線性增加”。而有時(shí)“增長(zhǎng)速度”又是用相鄰兩年的數(shù)量之比來(lái)衡量的，“增長(zhǎng)速度不變”的意思就變成了以固定的增長(zhǎng)率增加，即傳說(shuō)中的“指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)”。相比之下，前種定義更符合人們的直觀感受，而統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)則往往傾向于用后面那種定義。在本文開頭的例子中，人們會(huì)感覺到房?jī)r(jià)正在猛烈增長(zhǎng)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)卻告訴我們其增長(zhǎng)率正逐年降低，這正是兩種定義的不一致性造成的。

如果房?jī)r(jià)增長(zhǎng)率真的保持不變

今年 Google 校園招聘筆試題中，有一道頗有些悲劇色彩的數(shù)學(xué)計(jì)算問(wèn)題：現(xiàn)在北京有一套房子，價(jià)格 200 萬(wàn)，假設(shè)房?jī)r(jià)每年上漲 10%，一個(gè)軟件工程師每年固定能賺 40 萬(wàn)。如果他想買這套房子，不貸款，不漲工資，沒(méi)有其他收入，每年不吃不喝不消費(fèi)，那么他需要幾年才能攢夠錢買這套房子？

A. 5年

B. 7年

C. 8年

D. 9年

E. 永遠(yuǎn)買不起

正確答案并不出人意料：E，永遠(yuǎn)買不起。如果房?jī)r(jià)的增長(zhǎng)率保持 10% 不變，n 年后的房?jī)r(jià)計(jì)算公式則為：隨著 n 的增加，上式的結(jié)果將呈指數(shù)級(jí)上漲。即使每年只增加 10%，經(jīng)過(guò)多次迭代之后很快便會(huì)爆發(fā)出驚人的力量。5 年之后，這套房子將會(huì)變成 322 萬(wàn)元，10 年之后則會(huì)變成 518 萬(wàn)元，20 年之后則為 1345 萬(wàn)元，50 年之后更是 2 億元之多。而題目中的那位悲催的軟件工程師，手中的積蓄只能以每年 40 萬(wàn)的固定數(shù)量線性地增長(zhǎng)。10 年之后，他的全部積蓄也不過(guò) 400 萬(wàn)，離目標(biāo)還差大約 1/4 的距離；50 年之后，他攢到了 2000 萬(wàn)，離目標(biāo)的距離反而擴(kuò)大了，就算再來(lái) 10 個(gè) 2000 萬(wàn)也買不了房。最終，指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)把線性增長(zhǎng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)地甩到了后面，軟件工程師只能望著飆升的房?jī)r(jià)唉聲嘆氣了。